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Trigonometrische Gleichungen

#1 von allesklar , 15.01.2013 11:16

Ich habe mal ein paar Aufgaben versucht.

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RE: Trigonometrische Gleichungen

#2 von Stefan Schmickler , 15.01.2013 21:05

Hallo allesklar,

a) Falscher Ansatz. Substituieren führt hier nicht zum Ziel. Die linke Seite kann man umschreiben.

cos(x + /2) ist eine um /2 nach links verschobene Kosinusfunktion. Das entspricht der Funktion -sin(x). Man darf also Schreiben:

cos(x + /2) = -sin(x)

Ersetzen in der Gleichung:

-sin(x) = 2sin(x)·cos(x)

Nun bringt man alles auf die linke Seite und klammert sin(x) aus. Setze die Rechnung fort!


b) Ich kann leider nicht navhvollziehen, wie du auf die zweite Zeile kommst.

Ersetze cos(2x) = cos2(x) - sin2(x)

-3sin2(x) - (cos2(x) - sin2(x)) = 0

Ersetze cos2(x) = 1 - sin2(x)

-3sin2(x) - (1 - sin2(x) - sin2(x)) = 0

Löse die Gleichung nach sin2(x) auf. Ziehe die Wurzel und bilde den arcsin.


Grüße,
Stefan Schmickler
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RE: Trigonometrische Gleichungen

#3 von allesklar , 16.01.2013 10:39

Beim ersten hab ich irgendwo einen Fehler und beim zweiten habe ich dann einfach eine komplexe Zahl verwendet, weiss aber nicht sicher, ob das geht.

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RE: Trigonometrische Gleichungen

#4 von Stefan Schmickler , 16.01.2013 12:17

Hallo allesklar,

a) Bis hierher ok:

sin(x) · (2cos(x) + 1) = 0

Du musst nicht auf Biegen und Brechen eine Substitution versuchen. Der einfachste Weg ist hier der Nullproduktsatz:

sin(x) = 0 ___oder___ 2cos(x) + 1 = 0

Löse einfach diese beiden Teilgleichung (ohne Substitution!!!) nach x auf!


b) Die Umformung der Gleichung ist richtig!

sin2(x) = -1

Ja, die Gleichung hat eine komplexe Lösung. Da du das Thema Komplexe Zahlen noch nicht hattest, sollten wir diese Aufgabe vorerst zurückstellen.


Grüße,
Stefan Schmickler
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RE: Trigonometrische Gleichungen

#5 von allesklar , 16.01.2013 14:23

Das Thema Komplexe Zahlen hatten wir, aber ich wollte damit erst am Wochenende anfangen.

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RE: Trigonometrische Gleichungen

#6 von Stefan Schmickler , 16.01.2013 20:14

Hallo allesklar,

ok, dann poste deine Lösung zu a)!


Grüße,
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RE: Trigonometrische Gleichungen

#7 von allesklar , 16.01.2013 20:24

Ich habe mehrere Lösungen für x.

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RE: Trigonometrische Gleichungen

#8 von Stefan Schmickler , 16.01.2013 20:41

Hallo allesklar,

sehr schön! Wenn du bei sin(x) = 0 noch 0° dazu nimmst, haben wir alle Lösungen im Interval [0°; 360°].


Grüße,
Stefan Schmickler
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zuletzt bearbeitet 16.01.2013 | Top

   

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