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Komplexe Zahlen Gleichungen lösen

#1 von allesklar , 20.01.2013 19:58

Hallo, ich wollte mal fragen, wie löst man eine Gleichung mit komplexen Zahlen ?

Die Aufgabenstellung lautet :

Berechnen Sie alle Lösungen der Gleichung z^4 = 1+i
Zeichnen Sie alle Lösungen in die Gaußsche Zahlenebene ein.

Als Ergebnis muss das doch dann so aussehen : a +bi , oder ?

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RE: Komplexe Zahlen Gleichungen lösen

#2 von Stefan Schmickler , 20.01.2013 20:35

Hallo allesklar,

du wirbelst die Themen wieder etwas durcheinander. Hierzu brauchst du eigentlich die Polarform der komplexen Zahl. Übe zunächst das Thema Polarform. Danach kannst du dich mit Wurzeln beschäftigen!


Grüße,
Stefan Schmickler
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RE: Komplexe Zahlen Gleichungen lösen

#3 von allesklar , 20.01.2013 20:47

Ist die Polarform die trigonometrische Schreibeweise ? Und wenn ja , wie komme ich auf diese Schreibweise ?

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RE: Komplexe Zahlen Gleichungen lösen

#4 von Stefan Schmickler , 20.01.2013 23:52

Hallo allesklar,

ja, die Polarform ist die trigonometrische Schreibweise. Hier die 3 verschiedenen Darstellungsformen einer komplexen Zahl (Quelle: Papula, Band 1):

allesklar - Komplexe Zahl 1.png - Bild entfernt (keine Rechte)
allesklar - Komplexe Zahl 2.png - Bild entfernt (keine Rechte)


Die Umrechnung von der kartesischen Form in die Polarform (die brauchst du später beim Wurzelziehen):

allesklar - Komplexe Zahl 3.png - Bild entfernt (keine Rechte)


Wichtig ist die Winkelberechnung in Abhängigkeit vom Quadranten:

allesklar - Komplexe Zahl 4.png - Bild entfernt (keine Rechte)


Und schließlich ein Rechenbeispiel zu jedem der 4 Quadranten:

allesklar - Komplexe Zahl 5.png - Bild entfernt (keine Rechte)
allesklar - Komplexe Zahl 6.png - Bild entfernt (keine Rechte)


Grüße,
Stefan Schmickler
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RE: Komplexe Zahlen Gleichungen lösen

#5 von allesklar , 24.01.2013 21:23

Ich habe hier jetzt mal eine Lösung zur Aufgabe.
Stimmt die so ?

Angefügte Bilder:
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 mathe 001.jpg 
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RE: Komplexe Zahlen Gleichungen lösen

#6 von Stefan Schmickler , 25.01.2013 12:35

Hallo allesklar,

richtige Ergebnisse! Du hast im Zähler versehentlich "... · 2 · k", statt "... + 2 · k" geschrieben.


Grüße,
Stefan Schmickler
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