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Partialbruchzerlegung

#1 von SynphX , 08.04.2013 21:35

Hallo Stefan,
jetzt wende ich mich doch mal wieder vertrauensvoll an euer Forum

Also ich habe folgende Probleme bei der Partialbruchzerlegung, bzw. bei den Vorbereitung um diese überhaubt machen zu können. Undzwar bei der Zerlegung einer unecht gebrochenrationalen Funktion, bzw. erstmal bei der Nullstellenberechnung. Also ich bin noch ganz am Anfang diese Technik zu verstehen.
Bisher habe ich mir angeschaut wie man eine Polynomfunktion in diese Produktdarstellung mit den Nullstellen umwandelt. In meinem Papula Buch wird das mit dem Horner-Schema gemacht, ich verstehe nur nicht ganz wieso, da doch die Polynomdivison genau den selben Zweck erfüllt oder irre mich? Ich bin jetzt nur etwas verwirrt weil später bei der Partialbruchzerleung ja dann die Polynomdivision trotzdem auch gemacht wird, wieso steht im Buch nur diese Horner-Technik um die Nullstellen zu finden?? Für mich wäre es einfacher die Polynomdivision zu machen da mir diese bekannt ist, die Horner-Methode ist mir nicht so geläufig.

Also die erste Nullstelle findet man ja scheinbar sowieso nur durch Zauberei und Geistesblitze wie mir scheint. Aber wenn man die einmal hat macht man ja in der Polynomdivision und dem Horner-Schema genau dasselbe nur das man es irgendwie anders hinschreibt (oder?) Und man erhält bei beiden am Ende dann eine Funktion mit einem Grad niedriger. Das macht man dann solange bis man eine Funktion 2.Grades bekommt und mit dieser kann man dann per z.B. pq-Formel dann die restlichen beiden Nullstellen berechnen. (korrekt?)

Und die Produktdarstellung erhält man dann indem man den Faktor vor dem x mit dem höchsten Grad als Faktor vorne hin schreibt und dann jede Nullstelle, mit umgekehrtem Vorzeichen, einzeln in Klammern mit einem +x, dahinter multipliziert.(?!)

Soweit erstmal,
bitte um Aufklärung der mir bisher entstandenen Ungereimtheiten

Viele Grüße
Alexandra

 
SynphX
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RE: Partialbruchzerlegung

#2 von Stefan Schmickler , 09.04.2013 00:42

Hallo Alexandra,

schön von dir zu hören!

Zitat
...wie man eine Polynomfunktion in diese Produktdarstellung mit den Nullstellen umwandelt. In meinem Papula Buch wird das mit dem Horner-Schema gemacht, ich verstehe nur nicht ganz wieso, da doch die Polynomdivison genau den selben Zweck erfüllt oder irre mich?



Das Horner-Schema ist (etwas Übung vorausgesetz) letztlich einfacher als die Polynomdivision. Beide Verfahren sind jedoch völlig gleichwertig. Du kannst also weiterhin die Polynomdivision anwenden.

Zitat
Ich bin jetzt nur etwas verwirrt weil später bei der Partialbruchzerleung ja dann die Polynomdivision trotzdem auch gemacht wird



Hierbei geht es allerdings nicht um die Nullstellen, sondern die Zerlegung der unecht gebrochenrationlen Funktion in einen ganzrationalen und einen echt gebrochenrationalen Teil. Das geht nur mit der Polynomdivision.

Zitat
Also die erste Nullstelle findet man ja scheinbar sowieso nur durch Zauberei und Geistesblitze wie mir scheint



Nicht ganz. Es gibt eine Regel zum Auffinden der ersten Nullstelle:

SynphX - PBZ 1.jpg - Bild entfernt (keine Rechte)

SynphX - PBZ 2.jpg - Bild entfernt (keine Rechte)

Zitat
Aber wenn man die einmal hat macht man ja in der Polynomdivision und dem Horner-Schema genau dasselbe nur das man es irgendwie anders hinschreibt (oder?) Und man erhält bei beiden am Ende dann eine Funktion mit einem Grad niedriger. Das macht man dann solange bis man eine Funktion 2.Grades bekommt und mit dieser kann man dann per z.B. pq-Formel dann die restlichen beiden Nullstellen berechnen. (korrekt?)



Genau!

Zitat
Und die Produktdarstellung erhält man dann indem man den Faktor vor dem x mit dem höchsten Grad als Faktor vorne hin schreibt und dann jede Nullstelle, mit umgekehrtem Vorzeichen, einzeln in Klammern mit einem +x, dahinter multipliziert.(?!)



Jap, falls es Mehrfach-Nullstellen gibt, setzt man noch die entsprechende Hochzahl an den Linearfaktor.

Zitat
...bitte um Aufklärung der mir bisher entstandenen Ungereimtheiten



Die "Ungereimtheiten" klären sich beim Rechnen. Also poste doch einfach deine nächste Rechnung ins Forum. Dann können wir die Einzelschritte unter die Lupe nehmen!


Grüße,
Stefan Schmickler
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Stefan Schmickler
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RE: Partialbruchzerlegung

#3 von SynphX , 11.04.2013 16:13

Hallo Stefan,

danke für die schnelle Antwort. Rechnungen zum genau unter die Lupe nehmen folgen bald.

Vorher habe ich noch ein paar Fragen.
1) Was genau sind komplexe Nullstellen?

2) Hast du schon mal was von der Zuhalte-Methode gehört?


Viele Grüße

 
SynphX
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RE: Partialbruchzerlegung

#4 von Stefan Schmickler , 11.04.2013 22:35

Hallo Alexandra,

Zitat
1) Was genau sind komplexe Nullstellen?



Beispiel:

Bestimme die Nullstellen:

f(x) = x2 + 2x + 5

x2 + 2x + 5 = 0 | p-q-Formel

x1/2 = -1 ± √[1 - 5]

x1/2 = -1 ± √[-4]

x1/2 = -1 ± 2i

=> Die Funktion besitzt zwei komplexe Nullstellen: x1 = -1 + 2i; x2 = -1 - 2i


Zitat
2) Hast du schon mal was von der Zuhalte-Methode gehört?



Hier findest du ein Beispiel:

http://www.matheboard.de/archive/11334/thread.html

Skrolle runter zum Beitrag "06.01.2005, 10:30 - rad238"

Man multipliziert die Gleichung mit nur einem der vorkommenden Nenner und ersetzt x so, dass ein Teilbruch Null wird.


Grüße,
Stefan Schmickler
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RE: Partialbruchzerlegung

#5 von SynphX , 12.04.2013 11:05

Hallo Stefan,

also beim Nullstellen bestimmen sehe ich dann ob es komplexe Nullstellen gibt, wenn was negatives unter der Wurzel ist.

Und was bedeutet es wenn von konjugiert komplexen Nullstellen bei der Zerlegung die Rede ist (s.Papula Formelsammlung)? Eigentlich heißt ja das konjugiert nur das das Vorzeichen vor dem imaginär Teil umgekehrt wird, oder? Was meinen die dann damit bei der Partialbruchzerlegung?

Viele Grüße

P.S.: kennst du dich zufällig mit Redox-Gleichungen aus?! (Chemie)

 
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RE: Partialbruchzerlegung

#6 von SynphX , 12.04.2013 14:23

So, hier mal die erste Aufgabe:

img127.jpg - Bild entfernt (keine Rechte)


Viele Grüße

 
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RE: Partialbruchzerlegung

#7 von Harald Ziebarth , 12.04.2013 20:25

Hallo SynphX,

>> P.S.: kennst du dich zufällig mit Redox-Gleichungen aus?! (Chemie)

einen direkten Chemiebereich haben wir (noch) nicht. Schreibe das Redoxproblem bitte ins Physik-Forum. Ich schaue es mir dort an - versprochen ;-)


Gruß, Harald Ziebarth
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RE: Partialbruchzerlegung

#8 von Stefan Schmickler , 12.04.2013 22:01

Hallo Alexandra,

die Aufgabe ist vollständig richtig gelöst!

Zitat
...also beim Nullstellen bestimmen sehe ich dann ob es komplexe Nullstellen gibt, wenn was negatives unter der Wurzel ist.


Genau!

Zitat
Und was bedeutet es wenn von konjugiert komplexen Nullstellen bei der Zerlegung die Rede ist



Komplexe Nullstellen treten immer paarweise auf, d.h. jede komplexe Nullstelle liefert automatisch ihre konjugiert komplexe als weitere Nullstelle. In diesem Fall benutzt man keine Linearfaktoren bei der Zerlegung, da diese ja komplex wären, sondern quadratische Terme vom Typ

x2 + px + q

So kann man weiterhin im Reellen rechnen.


Schau dir hier den Abschnitt oberhalb des Inhaltsverzeichnisses an:

http://de.wikipedia.org/wiki/Partialbruchzerlegung


Grüße,
Stefan Schmickler
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RE: Partialbruchzerlegung

#9 von SynphX , 15.04.2013 12:53

Hallo Stefan,

hier die nächste Partialbruchaufgabe. Ist etwas kaotisch geworden, aber sonst hätte es nicht auf eine Seite gepasst..
Das mit den komplexen Nullstellen ist ja ganz schön kaotisch
Ich glaube ich habe irgendwo einen Vorzeichenfehler gemacht.

img128.jpg - Bild entfernt (keine Rechte)


Viele Grüße

 
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RE: Partialbruchzerlegung

#10 von SynphX , 15.04.2013 16:21

Hallo,

hier die nächsten Aufgaben und nochmal Aufgabe 4, diesmal aber mit etwas anderem Rechenweg und Vorzeichen müsste jetzt stimmen.

img132.jpg - Bild entfernt (keine Rechte)img133.jpg - Bild entfernt (keine Rechte)img134.jpg - Bild entfernt (keine Rechte)

Bei der Aufgabe 3. (s.u.) komme ich nicht weiter, ich bekomme 2 reelle Nullstellen raus, einmal +1 und -1 und ein konjugiert komplexes Paar +j und -j. Aber die komplexen Zahlen kann ich ja nicht hinschreiben ich muss die Funktion nehmen aus der die enstanden sind, das wäre aber x22+1, wenn ich das aber einsetze als Faktor und mit den anderen Nullstellen mal nehme bekomme ich nicht die
Ausgangsfunktion -x4+1 sondern +x4-1

img135.jpg - Bild entfernt (keine Rechte)


Viele Grüße

 
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RE: Partialbruchzerlegung

#11 von Stefan Schmickler , 15.04.2013 21:23

Hallo Alexandra,

Nr. 4 ist, bis auf das Vorzeichen bei arctan, Ok!

(Fortsetzung folgt)


Grüße,
Stefan Schmickler
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RE: Partialbruchzerlegung

#12 von Stefan Schmickler , 16.04.2013 11:30

Hallo Alexandra,

2) Ok!


3) Du hast in der dritten Zeile mit "-1" multipliziert (bzw. durch "-1" dividiert). Das musst du bei der Faktorzerlegung berücksichtigen:

1 - x4 = -1 · (x + 1) · (x - 1) · (x2 + 1)

Allgemein:
"Wenn man bei der Nullstellenberechnung durch eine Konstante a dividiert, muss man die Faktorzerlegung mit a multiplizieren."


4) Die zweite Version von Nr. 4 stimmt vollständig. Der Vorzeichenfehler bei Version 1 war allerdings nur ein Flüchtigkeitsfehler beim Übergang von der drittletzten Zeile zur vorletzten Zeile. Das Minus vor dem Integral bezieht sich auch auf den zweiten Teil.


5) Tipp zur Arbeitsersparnis: Die Nullstellen des Nennerpolynoms kannst du direkt aus der Faktorzerlegung (ohne Polynomdivision) ablesen!

Lösung Ok!


Grüße,
Stefan Schmickler
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RE: Partialbruchzerlegung

#13 von SynphX , 16.04.2013 21:24

Hallo,

hier nochmal Aufgabe 3. Irgendwo ist ein Vorzeichen falsch welches ich nicht finde..

img136.jpg - Bild entfernt (keine Rechte)


Grüße

 
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RE: Partialbruchzerlegung

#14 von Stefan Schmickler , 16.04.2013 23:17

Hallo Alexandra,

beim Integrieren von 1/(1 - x) must du, wegen der inneren Ableitung, -1 als Vorfaktor setzen:


Grüße,
Stefan Schmickler
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RE: Partialbruchzerlegung

#15 von SynphX , 24.04.2013 21:01

Hallo Stefan,

hier noch eine Partialbruchaufgabe. Ich hänge an dem Vorfaktor, wo kommt die 2 hin in der Zerlegung?

img138.jpg - Bild entfernt (keine Rechte)


Viele Grüße

 
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Beweise
Differential?!


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