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sgn(x)

#1 von WING , 23.04.2013 15:17

Hallo Stefan,

ich sitze hier an einer Aufgabe, wo ich nicht genau weiss, wie ich die sgn-Funktion umschreiben soll, um zu überprüfen ob folgende Funktionen(u,v) lin. unabhängig sind bzw. um die die Wronski-Determinante zu bilden.
signum.jpg - Bild entfernt (keine Rechte)

2.2) Die Wronksi Determinante sieht hier allgemein, wie folgt aus: u v ------> x² x²*sgn(x)
u´ v´------> 2x 2x I x I ----->?? ist v´ richtig gebildet?

Bei der Signum-Funktion handelt es sich um die Vorzeichenfunktion, also müsste doch die Ableitung lediglich der Betrag von x sein oder? sgn(x)=x/(|x|) für x ≠ 0 lässt sich wie folgt umschreiben, aber wie lässt es sich umschreiben, wenn die 0 nicht ausgenommen ist?

Mein Problem ist, dass ich nicht weiss, wie ich die sgn-Funktion ableiten bzw. umschreiben kann/soll, um sie anschliessend richtig abzuleiten.

Da die Aufgaben hier aufeinander basieren, wäre es hilfreich, wenn ich die Determinante richtig bilden könnte :D!

Gruß
Wing

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RE: sgn(x)

#2 von Stefan Schmickler , 23.04.2013 21:08

Hallo WING,

die Wronski-Determinante sollte so aussehen:



Die Ableitung bezieht sich ja nicht auf die isolierte Signum-Funktion, sondern auf x2·sign(x). Diese kann man aufteilen:

__________{x2 falls x > 0
x2·sign(x) = {0 _falls x = 0
__________{-x2 falls x < 0

Hieraus ergibt sich die Ableitung (x2·sign(x))' = 2|x|

Berechne nun die Determinante!


Grüße,
Stefan Schmickler
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RE: sgn(x)

#3 von WING , 24.04.2013 14:50

Hallo Stefan,

danke für die Hilfe.

Für die Determinante habe ich folgendes berechnet:

2x²*|x|-(2x^3)* sgn(x). Gibt es eine Möglichkeit das hier noch weiter zu vereinfachen? Den Betrag löst man ja durch quadrieren und g´gleichzeitiges Wurzelziehen, wobei es dann ziemlich "unschön" wird.

Gruß

Wing

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RE: sgn(x)

#4 von WING , 24.04.2013 19:39

Hallo Stefan,

ich poste einfach mal was ich habe, falls du Zeit haben solltest es dir anzuschauen:


2.1) Überprüfen der Funktionen auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit:

- u(x)= ist bei x=a stetig, wenn u(a) existiert und außerdem der links-und rechtsseitige Grenzwert(GW) existieren und beide gleich groß sind. Die Bedingungen der Stetigkeit treffen hier auf die Funktion zu. Damit kommt die Differenzierbarkeit hier in Frage.

- Überprüfen der Differenzierbarkeit für u(x): - Die Funktion ist diff´bar bei x=a, wenn u(x) stetig ist (trifft hier zu s.o.).
- u´(a) existiert, wenn links und rechtsseitiger GW und gleich groß sind.

2.2) Haben wir ja bereits besprochen.

2.3) Aus der Wronski-Determinante(wenn Aufgabe 2.2 soweit richtig ist) lässt sich Schlussfolgern, dass:

W ≡ 0, d.h., dass die Funktionen u und v linear abhängig als auch linear unabhängig sein können(eindeutige Aussage nicht möglich?).

2.4) Die Wronski-Determinante dieser Funktionen kann Nullstellen aufweisen, sobald die Determinante in Abhängigkeit von Variabeln/einer Variable steht, also wenn die Wronski-Determinante W(x) lautet. Keine Nullstellen weist die Wronksi-Determinante auf, wenn diese nicht in Abhängigkeit von Variabeln steht, also W= -1 zum Beispiel(sprich die Determinante ein eindeutiges Ergebnis, ohne in der Abhängigkeit von Variabeln zu stehen, liefert).

Gruß

Wing

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RE: sgn(x)

#5 von Stefan Schmickler , 25.04.2013 22:07

Hallo WING,

2.1) Ok!

2.3) Richtig. Die Funktionen sind bei W = 0 nicht generell, sondern nur auf einem Teilintervall linear abhängig, siehe Wiki (Kriterium für lineare Unabhängigkeit):

http://de.wikipedia.org/wiki/Wronski-Determinante#Kriterium


2.4) Richtig, d.h. die Umkehrung gilt nicht grundsätzlich, sondern nur in Ausnahmefällen, also: nein!


Grüße,
Stefan Schmickler
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Stefan Schmickler
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RE: sgn(x)

#6 von WING , 30.04.2013 14:04

Dankschön:)!

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